Problem OM 1.1.1

\fontsize{15}{15}\selectfont

Problem Statement

Dowieść, że jeżeli $m>0$, to $m + \frac{4}{m^2} \geq 3$.

Solution:

Skoro $m>0$ to możemy pomnożyć obustronnie naszą nierówność przez $m^2$: $$m^3 + 4 \geq 3m^2$$

Przerzucając wszystko na lewą stronę otrzymujemy taką nierówność: \begin{equation} \label{r1} m^3 - 3m^2 + 4 \geq 0 \end{equation}

Oznaczmy: $f(m) = m^3 - 3m^2 + 4$

Przekształćmy naszą nierówność równoważnie \eqref{r1} \begin{align*} m^3 + m^2 - 4m^2 - 4m + 4m + 4 &\geq 0 \\ m^2(m + 1) - 4m(m + 1) + 4(m + 1) &\geq 0 \\ (m+1)(m^2 - 4m + 4) &\geq 0 \\ (m+1)(m - 2)^2 &\geq 0 \quad \text{(wzór skróconego mnożenia)} \end{align*}

Zauważmy, że mamy współczynnik przy najwyższej potędze dodatni, przeto tak wygląda wykres znaku naszej funkcji (zaczynamy z prawej strony od góry):

Czyli widać, że gdy $m \in [-1, \infty]$ to $f(m) \geq 0$.

W szczególności, dla dodatnich $m$ (czyli $m > 0$), spełnione jest $f(m) \geq 0$.

A $f(m)$ jest równoważne znakowo $m + \frac{4}{m^2} - 3$, przeto teza prawdziwa.

Co należało dowieść.

% Algebra, Inequalities, QuadraticFunction

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
% \usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{enumitem}
\usepackage[most]{tcolorbox}

\usepackage{pgfplots}
\pgfplotsset{compat=1.18}

\setmainfont{Linux Libertine O}
\newfontfamily\russianfont{Linux Libertine O}

\newtheorem{theorem}{Theorem}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemma}[section]

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{I OM, etap 1, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}

Dowieść, że jeżeli $m>0$, to $m + \frac{4}{m^2} \geq 3$.

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Skoro $m>0$ to możemy pomnożyć obustronnie naszą nierówność przez $m^2$:
$$m^3 + 4 \geq 3m^2$$

Przerzucając wszystko na lewą stronę otrzymujemy taką nierówność:
\begin{equation}
    \label{r1}
    m^3 - 3m^2 + 4 \geq 0
\end{equation}

Oznaczmy: $f(m) = m^3 - 3m^2 + 4$

Przekształćmy naszą nierówność równoważnie \eqref{r1}
\begin{align*}
    m^3 + m^2 - 4m^2 - 4m + 4m + 4 &\geq 0 \\
    m^2(m + 1) - 4m(m + 1) + 4(m + 1) &\geq 0 \\
    (m+1)(m^2 - 4m + 4) &\geq 0 \\
    (m+1)(m - 2)^2 &\geq 0 \quad \text{(wzór skróconego mnożenia)}
\end{align*}

Zauważmy, że mamy współczynnik przy najwyższej potędze dodatni, przeto tak wygląda wykres znaku naszej funkcji (zaczynamy z prawej strony od góry):

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[
    axis lines=middle,
    xlabel={$m$},
    ylabel={$f(m)$},
    xmin=-4, xmax=5,
    ymin=-10, ymax=60,
    samples=200,
    domain=-4:5,
    grid=both,
    thick
]
\addplot[blue, thick] {(x+1)*(x - 2)^2};

\addplot[only marks, mark=*, mark size=2pt, color=red] coordinates {(-1,0) (2,0)};
\addplot[only marks, mark=o, mark size=4pt, color=red] coordinates {(2,0)}; % Stykanie w (2,0)

\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Czyli widać, że gdy $m \in [-1, \infty]$ to $f(m) \geq 0$.

W szczególności, dla dodatnich $m$ (czyli $m > 0$), spełnione jest $f(m) \geq 0$.

A $f(m)$ jest równoważne znakowo $m + \frac{4}{m^2} - 3$, przeto teza prawdziwa.

Co należało dowieść.

\end{document}