Problem OM 73.1.1

\fontsize{18}{18}\selectfont

Problem Statement

Niech $a$, $b$ będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek $a + b = 1$. Udowodnić nierówność: $$ (a^2 + b)(b^2 + a) \geq \frac{9}{16} $$

Solution:

Wyznaczamy $b$ z założenia: $$ a + b = 1 \Rightarrow \boxed{b = 1 - a} $$

Podstawiamy do lewej strony nierówności: \begin{align*} (a^2 + b)(b^2 + a) &= \big(a^2 - a + 1\big)\big((1 - a)^2 + a\big) \\ &= \big(a^2 - a + 1\big)\big(a^2 - 2a + 1 + a\big) \\ &= \big(a^2 - a + 1\big)^2 \end{align*}

Wyznaczamy wierzchołek paraboli $f(a) = a^2 - a + 1$: $$ p = \frac{1}{2}, \quad q = f(p) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4} $$

Ponieważ współczynnik przy $a^2$ jest dodatni, parabola osiąga minimum w wierzchołku: $$ a^2 - a + 1 \geq \frac{3}{4} $$

Podnosząc obustronnie do kwadratu: $$ \big(a^2 - a + 1\big)^2 \geq \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} $$

Co kończy dowód.

% Algebra, Inequalities, QuadraticFunction

\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{polski}
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot, headheight=50pt]{geometry}
\usepackage{fontspec}
\setmainfont{Linux Libertine O}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{LXXIII OM, etap 1, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{18}{18}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Niech $a$, $b$ będą liczbami rzeczywistymi spełniającymi warunek $a + b = 1$. Udowodnić nierówność:
$$ (a^2 + b)(b^2 + a) \geq \frac{9}{16} $$

\noindent\textbf{Solution:}

Wyznaczamy $b$ z założenia:
$$ a + b = 1 \Rightarrow \boxed{b = 1 - a} $$

Podstawiamy do lewej strony nierówności:
\begin{align*}
(a^2 + b)(b^2 + a) 
&= \big(a^2 - a + 1\big)\big((1 - a)^2 + a\big) \\
&= \big(a^2 - a + 1\big)\big(a^2 - 2a + 1 + a\big) \\
&= \big(a^2 - a + 1\big)^2
\end{align*}

Wyznaczamy wierzchołek paraboli $f(a) = a^2 - a + 1$:
$$
p = \frac{1}{2}, \quad 
q = f(p) = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}
$$

Ponieważ współczynnik przy $a^2$ jest dodatni, parabola osiąga minimum w wierzchołku:
$$ a^2 - a + 1 \geq \frac{3}{4} $$

Podnosząc obustronnie do kwadratu:
$$ \big(a^2 - a + 1\big)^2 \geq \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16} $$

Co kończy dowód.

\end{document}