Problem OM 75.1.1

% Geometry, Triangles, Circles

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\setmainfont{Linux Libertine O}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
    headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{LXXV OM, etap 1, zadanie 1}

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{15}{15}\selectfont

\section*{Problem Statement}
Dany jest trójkąt $ABC$. Punkt $J$ jest środkiem okręgu stycznego do
boku $BC$ oraz do przedłużeń boków $AB$ i $AC$. Punkty $P$, $B$, $C$, $Q$ leżą w tej
kolejności na jednej prostej, przy czym $PB = AB$ i $QC = AC$. Udowodnić,
że $\angle BAC + \angle QJP = 180^\circ$.
\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

Wersja interaktywna: https://www.geogebra.org/geometry/hfhycpw8

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{img/75_1_1_i1.jpg}
    \caption{}
\end{figure}

Chcemy dowieść, że $\angle BAC + \angle QJP = 180^\circ$. Wprowadźmy oznaczenia: niech $\angle BAC = 2\alpha$, $\angle CBA = 2\beta$, $\angle ACB = 2\gamma$. Przy czym $2\alpha + 2\beta + 2\gamma = 180^\circ$ (ponieważ są to kąty wewnętrzne tego samego trójkąta).

Nasz okrąg o środku w punkcie $J$ to tzw. okrąg dopisany do trójkąta $ABC$ – jego środek leży na przecięciu dwusiecznej kąta przy wierzchołku $A$ oraz dwusiecznych kątów zewnętrznych przy wierzchołkach $B$ i $C$.

Dorysujmy sobie tę dwusieczną kąta przy wierzchołku $A$ oraz stwórzmy odcinki $PA$ i $AQ$. (Zobacz rys. \ref{fig:rysunek2}).

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.5\textwidth]{img/75_1_1_i2.jpg}
    \caption{}
    \label{fig:rysunek2}
\end{figure}

Zauważmy, że zgodnie z treścią zadania trójkąty $AQC$ oraz $ABP$ są równoramienne. Ponieważ mają taką własność, symetralne ich podstaw pokrywają się z dwusiecznymi kątów leżących naprzeciwko tych podstaw. Oznaczmy przez $F$ środek odcinka $AQ$, a przez $H$ środek odcinka $AP$. Z definicji okręgu dopisanego podanej wcześniej mamy, że punkty $H$, $B$, $J$ są współliniowe, tak samo $F$, $C$, $J$ są współliniowe. Przy czym $\angle AFC = \angle AHJ = 90^\circ$ (z definicji symetralnej). (Patrz rys. \ref{fig:rysunek3}).

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=.8\textwidth]{img/75_1_1_i3.jpg}
    \caption{}
    \label{fig:rysunek3}
\end{figure}

Zauważmy dodatkowo, że trójkąt $AQP$ jest wpisany w okrąg o środku $J$ (ponieważ symetralne jego boków przecinają się w punkcie $J$). A to nam daje, że $|PJ| = |AJ| = |QJ|$.

Teraz pobawmy się trochę kątami. Skoro $\angle ACB = 2\gamma$ to mamy, że $\angle ACQ = 180^\circ - 2\gamma$. A skoro trójkąt $ACQ$ jest równoramienny to $\angle QAC = \angle AQC = \gamma$.

Ale, dodatkowo, skoro $|AJ| = |QJ|$ to mamy, że trójkąt $AJQ$ jest równoramienny. Stąd:

$$\angle QAJ = \alpha + \gamma = \angle AQJ$$

A skoro tak to $\angle AJQ = 180^\circ - 2\alpha - 2\gamma = 2\beta$.

Analogicznie robimy po drugiej stronie otrzymując, że $\angle AJP = 180^\circ - 2\alpha - 2\beta = 2\gamma$ (Patrz rys. \ref{fig:rysunek4}).

\begin{figure}[H]
    \centering
    \includegraphics[width=1\textwidth]{img/75_1_1_i4.jpg}
    \caption{}
    \label{fig:rysunek4}
\end{figure}

Ale, teraz mamy, że $\angle PJQ = 2\beta + 2\gamma$. $\angle BAC = 2\alpha$.

$$\Rightarrow \angle PJQ + \angle BAC = 2\beta + 2\gamma + 2\alpha = 180^\circ$$

Co kończy dowód.

\end{document}