Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite n o następującej własności: z $n$ prostokątów o wymiarach$$1 \times n,\ 2 \times n, \ 3 \times n,\ \ldots,\ n\times n$$ można ułożyć kwadrat.Solution:A więc, po pierwsze, aby można było w ogóle utworzyć kwadrat to pola naszych prostokątów muszą się sumować tak, aby wynosiły kwadrat liczby całkowitej. Przeto możemy ułożyć następujące równanie:$$\sum_{i=1}^{n}in=k^2,\ k\in\mathbb{Z^+}$$$$n\sum_{i=1}^{n}i=k^2,\ k\in\mathbb{Z^+}$$$$n\frac{n(n+1)}{2}=k^2,\ k\in\mathbb{Z^+}$$$$n^2\frac{(n+1)}{2}=k^2,\ k\in\mathbb{Z^+}$$Zauważmy, że aby wyrażenie po lewej było kwadratem liczby całkowitej to $\frac{(n+1)}{2}$ musi być kwadratem liczby całkowitej. Przeto otrzymujemy:$$\frac{(n+1)}{2}=m^2, \ m\in\mathbb{Z}^+$$
$$\Rightarrow n=2m^2-1$$Więc teraz wiemy, że wszystkie liczby $n$ są postaci $n=2m^2-1$. Ale teraz musimy przekonać się czy wszystkie takie $n$ są dobre czy może tylko niektóre.Zauważmy jedno: nasze liczby $n$ są nieparzyste i zawsze możemy zrobić tak, że bierzemy ten prostokąt $n\times n$ a z pozostałych prostokątów, jeśli będziemy brać parami, otrzymać kwadraty $n\times n$.Przykład dla $n=7$:
% \caption{}Figure 1:Więc, w ogólności możemy ułożyć $1+\frac{2m^2-2}{2} = 1+m^2-1 = m^2$ kwadratów $n\times n$. Czyli zawsze otrzymamy $m^2$ kwadratów rozmiaru $n\times n$.A to z kolei umożliwia nam utowrzenie jednego dużego kwadratu o boku $mn$, a to pokazuje, że wszystkie $n$ postaci $n=2m^2-1$ są dobre.Odpowiedź: $n=2m^2-1$, $m\in\mathbb{Z}^+$.
% NumberTheory, Algebra, Integers
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot, headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{LXXV OM, etap 1, zadanie 4}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{18}{20}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite n o następującej własności: z $n$ prostokątów o wymiarach
$$1 \times n,\ 2 \times n, \ 3 \times n,\ \ldots,\ n\times n$$
\noindent można ułożyć kwadrat.
\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
A więc, po pierwsze, aby można było w ogóle utworzyć kwadrat to pola naszych prostokątów muszą się sumować tak, aby wynosiły kwadrat liczby całkowitej. Przeto możemy ułożyć następujące równanie:
$$\sum_{i=1}^{n}in=k^2,\ k\in\mathbb{Z^+}$$
$$n\sum_{i=1}^{n}i=k^2,\ k\in\mathbb{Z^+}$$
$$n\frac{n(n+1)}{2}=k^2,\ k\in\mathbb{Z^+}$$
$$n^2\frac{(n+1)}{2}=k^2,\ k\in\mathbb{Z^+}$$
Zauważmy, że aby wyrażenie po lewej było kwadratem liczby całkowitej to $\frac{(n+1)}{2}$ musi być kwadratem liczby całkowitej. Przeto otrzymujemy:
$$\frac{(n+1)}{2}=m^2, \ m\in\mathbb{Z}^+$$
$$\Rightarrow n=2m^2-1$$
Więc teraz wiemy, że wszystkie liczby $n$ są postaci $n=2m^2-1$. Ale teraz musimy przekonać się czy wszystkie takie $n$ są dobre czy może tylko niektóre.
Zauważmy jedno: nasze liczby $n$ są nieparzyste i zawsze możemy zrobić tak, że bierzemy ten prostokąt $n\times n$ a z pozostałych prostokątów, jeśli będziemy brać parami, otrzymać kwadraty $n\times n$.
Przykład dla $n=7$:
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{img/drawing.pdf}
% \caption{}
\end{figure}
Więc, w ogólności możemy ułożyć $1+\frac{2m^2-2}{2} = 1+m^2-1 = m^2$ kwadratów $n\times n$. Czyli zawsze otrzymamy $m^2$ kwadratów rozmiaru $n\times n$.
A to z kolei umożliwia nam utowrzenie jednego dużego kwadratu o boku $mn$, a to pokazuje, że wszystkie $n$ postaci $n=2m^2-1$ są dobre.
Odpowiedź: $n=2m^2-1$, $m\in\mathbb{Z}^+$.
\end{document}
% \caption{}