Problem OM 76.1.1

% Algebra, QuadraticFunction, Inequalities

\documentclass[a4paper,12pt]{article}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage} 
\usepackage{polski}
\usepackage{fontspec}
\setmainfont{Linux Libertine O}

\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot, headheight=50pt, a4paper]{geometry}

\newcommand{\Name}{Hostek}                
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}   
\newcommand{\ProblemNumber}{LXXVI OM, etap 1, zadanie 1}               

\pagestyle{fancy}
\fancyhf{} 
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}

\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}

\begin{document}
\fontsize{18}{16}\selectfont


\section*{Problem Statement}

1. Dana jest funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$, której wykres nie
przecina osi odciętych. Wykazać, że

$$a(2a + 3b + 6c) > 0.$$

\bigskip

\noindent\textbf{Solution:}

\noindent
Dana jest funkcja \(f(x)=ax^2+bx+c\),  której wykres nie przecina osi odciętych. Wykazać, że \(a(2a + 3b + 6c) > 0\).

\noindent
Rozpatrzmy dwa przypadki: 1) \(a>0\) ; 2) \(a<0\)

1) Zauważmy, że skoro wykres funkcji nie przecina osi odciętych i \(a>0\), to mamy, że \(f(x) > 0\), ponieważ dla \(a>0\) parabolka ma ramiona skierowane w górę, przeto gdyby było dla jakiegokolwiek \(x\), że \(f(x) \leq 0\) to parabola byłaby przecięła oś odciętych.

Skoro \(f(x) > 0\) sprawdźmy dla pewnych \(x\) co otrzymamy:


\[ f(x) > 0 \Rightarrow f(0) > 0 \Leftrightarrow a\cdot0^2 + b\cdot0 + c > 0\Leftrightarrow c>0\]

\[  f(x) > 0 \Rightarrow f(1) > 0 \Leftrightarrow a\cdot1^2 + b\cdot1 + c > 0\Leftrightarrow a+b+c>0\]

\[ f(x) > 0 \Rightarrow f(\frac{1}{2}) > 0 \Leftrightarrow a\cdot(\frac{1}{2})^2 + b\cdot\frac{1}{2} + c > 0\Leftrightarrow \]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b+c>0\Leftrightarrow a+2b+4c>0\]

A więc otrzymujemy:


\[\left\{\begin{matrix}
c > 0
 \\
a + b + c > 0
 \\
a+2b+4c > 0
\end{matrix}\right.\]

Zsumowanie tych nierówności daje nam: 

\[2a+3b+6c > 0\]

A skoro \(a>0\) to, gdy przemnożymy nierówność przez \(a\) otrzymamy: 

\[a(2a + 3b + 6c) > 0\]


c.n.d

2) Zauważmy, że skoro wykres funkcji nie przecina osi odciętych i \(a<0\), to mamy, że \(f(x) < 0\), ponieważ dla \(a<0\) parabolka ma ramiona skierowane w dół, przeto gdyby było dla jakiegokolwiek \(x\), że \(f(x) \geq 0\) to parabola byłaby przecięła oś odciętych.

Skoro \(f(x) < 0\) sprawdźmy dla pewnych \(x\) co otrzymamy:


\[ f(x) < 0 \Rightarrow f(0) < 0 \Leftrightarrow a\cdot0^2 + b\cdot0 + c < 0\Leftrightarrow c<0\]

\[  f(x) < 0 \Rightarrow f(1) < 0 \Leftrightarrow a\cdot1^2 + b\cdot1 + c < 0\Leftrightarrow a+b+c<0\]

\[ f(x) < 0 \Rightarrow f(\frac{1}{2}) < 0 \Leftrightarrow a\cdot(\frac{1}{2})^2 + b\cdot\frac{1}{2} + c < 0\Leftrightarrow \]
\[\Leftrightarrow \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b+c<0\Leftrightarrow a+2b+4c<0\]

A więc otrzymujemy:


\[\left\{\begin{matrix}
c < 0
 \\
a + b + c < 0
 \\
a+2b+4c < 0
\end{matrix}\right.\]

Zsumowanie tych nierówności daje nam: 

\[2a+3b+6c < 0\]

A skoro \(a<0\) to, gdy przemnożymy nierówność przez \(a\) otrzymamy: 

\[a(2a + 3b + 6c) > 0\]


c.n.d

\end{document}