Dany jest prostokąt $ABCD$ wpisany w okrąg $\omega$ o środku $O$. Prosta $l$
przechodzi przez $O$ oraz przecina odcinki $BC$ i $AD$ odpowiednio w punktach
$E$ i $F$. Punkty $K$ i $L$ są punktami przecięcia $l$ i $\omega$, przy czym punkty $K$, $E$,
$F$, $L$ leżą w takiej kolejności na prostej $l$. Proste styczne do $\omega$ w punktach
$K$ i $L$ przecinają prostą $CD$ odpowiednio w punktach $M$ i $N$. Udowodnić,
że punkty $E$, $F$, $M$, $N$ leżą na jednym okręgu.
Solution:Interaktywna wersja: https://www.geogebra.org/geometry/gxhkep3rRysunek:
\caption{}Figure 1:Zauważmy, że $\angle ECM$ jest prosty ze względu na prostokąt $ABCD$. Dodatkowo $\angle MKE$ jest prosty, ponieważ $KM$ jest styczne do okręgu. Stąd wynika, że punkty $C$, $K$, $E$, $M$ leżą na okręgu, przy czym $EM$ jest średnicą tego okręgu. A z tego wynika, że $\angle CKE = \angle CME = \alpha$. Podobnie, punkty $C$ i $L$ leżą na okręgu o średnicy $EN$, bo kąty $NCE$ i $ELN$ są proste. A z tego wynika, że $\angle CLE = \angle CNE = \beta$.Zauważmy, że $KL$ jest średnicą okręgu $\omega$, stąd wiemy, że $\angle KCL = 90^\circ$. A z tego wynika, że $\alpha + \beta = 90^\circ$. A z tego wynika, że $\angle MEN = 180^\circ - \alpha - \beta = 90^\circ$
\caption{}Figure 2:Analogicznie robimy, żeby wykazać, że $\angle MFN = 90^\circ$. Pozwolę zatem sobie, żeby tylko pokazać rysunek (Patrz rys. Figure 3).A skoro $\angle MFN = 90^\circ = \angle MEN$ to punkty $F$ i $E$ leżą na okręgu o średnicy $MN$.% \clearpage
\caption{}Figure 3:
% Geometry, Circles
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{amsmath, amssymb, amsthm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{polski}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{float}
\usepackage{fontspec}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt, a4paper]{geometry}
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{LXXVI OM, etap 1, zadanie 2}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
% \fancyhead[C]{Zadanie \#\ProblemNumber}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\fontsize{14}{13}\selectfont
\section*{Problem Statement}
Dany jest prostokąt $ABCD$ wpisany w okrąg $\omega$ o środku $O$. Prosta $l$
przechodzi przez $O$ oraz przecina odcinki $BC$ i $AD$ odpowiednio w punktach
$E$ i $F$. Punkty $K$ i $L$ są punktami przecięcia $l$ i $\omega$, przy czym punkty $K$, $E$,
$F$, $L$ leżą w takiej kolejności na prostej $l$. Proste styczne do $\omega$ w punktach
$K$ i $L$ przecinają prostą $CD$ odpowiednio w punktach $M$ i $N$. Udowodnić,
że punkty $E$, $F$, $M$, $N$ leżą na jednym okręgu.
\bigskip
\noindent\textbf{Solution:}
Interaktywna wersja: https://www.geogebra.org/geometry/gxhkep3r
Rysunek:
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{img/om76_1_2_i1.pdf}
\caption{}
\end{figure}
Zauważmy, że $\angle ECM$ jest prosty ze względu na prostokąt $ABCD$. Dodatkowo $\angle MKE$ jest prosty, ponieważ $KM$ jest styczne do okręgu. Stąd wynika, że punkty $C$, $K$, $E$, $M$ leżą na okręgu, przy czym $EM$ jest średnicą tego okręgu. A z tego wynika, że $\angle CKE = \angle CME = \alpha$. Podobnie, punkty $C$ i $L$ leżą na okręgu o średnicy $EN$, bo kąty $NCE$ i $ELN$ są proste. A z tego wynika, że $\angle CLE = \angle CNE = \beta$.
Zauważmy, że $KL$ jest średnicą okręgu $\omega$, stąd wiemy, że $\angle KCL = 90^\circ$. A z tego wynika, że $\alpha + \beta = 90^\circ$. A z tego wynika, że $\angle MEN = 180^\circ - \alpha - \beta = 90^\circ$
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{img/om76_1_2_i2.pdf}
\caption{}
\end{figure}
Analogicznie robimy, żeby wykazać, że $\angle MFN = 90^\circ$. Pozwolę zatem sobie, żeby tylko pokazać rysunek (Patrz rys. \ref{fig:rysunek3}).
A skoro $\angle MFN = 90^\circ = \angle MEN$ to punkty $F$ i $E$ leżą na okręgu o średnicy $MN$.
% \clearpage
\begin{figure}[H]
\centering
\includegraphics[width=1\textwidth]{img/om76_1_2_i3.pdf}
\caption{}
\label{fig:rysunek3}
\end{figure}
\end{document}
\caption{}
\caption{}
\caption{}