Rozstrzygnąć, czy istnieją niecałkowite liczby wymierne $a_1, a_2, \dots, a_{67}$ o tej własności, że liczby
\[
a_1 \cdot a_2, \; a_2 \cdot a_3, \; a_3 \cdot a_4, \; \dots, \; a_{66} \cdot a_{67}, \; a_{67} \cdot a_1
\]
są całkowite.
Rozwiązanie
Tak, istnieją. Przedstawimy poniżej przykładową konstrukcję.Niech $M$ będzie iloczynem pierwszych $67$ liczb pierwszych:
\[
M = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{67}
\]Twierdzę, że, jeśli zrobimy poniższą konstrukcję:
\[
a_i = \frac{M}{p_i^2}
\]
to zadziała.
Dowód. Zauważmy najpierw że każda liczba $a_i$ jest niecałkowita. Widzimy, że:
\[
a_i = \frac{p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot \ldots \cdot p_{67}}{p_i}
\]Ze względu na to, że są to liczby pierwsze to oczywiste jest, że:
\[
\gcd(p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot \ldots \cdot p_{67}, p_i) = 1
\]Sprawdźmy teraz czy iloczyn dwóch sąsiednich liczb jest liczbą całkowitą (przy czym załóżmy, że $a_{68} = a_1$ oraz $p_{68} = p_1$):
\begin{align*}
a_i\cdot a_{i + 1} &= \frac{M}{p_i^2} \cdot \frac{M}{p_{i+1}^2} \\
&= \frac{M^2}{p_i^2 \cdot p_{i+1}^2} \\
&= \frac{p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot \ldots \cdot p_i^2 \cdot p_{i+1}^2 \cdot \ldots \cdot p_{67}^2}{p_i^2 \cdot p_{i+1}^2} \\
&= p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot \ldots \cdot p_{i - 1}^2 \cdot p_{i+2}^2 \cdot \ldots \cdot p_{67}^2
\end{align*}Widać, że jest to liczba całkowita. ■
% NumberTheory
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{float}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage{polish}
\usepackage{amsmath, amsthm}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemat}[section]
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{LXXVIII OM, etap 1, zadanie p1}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\section*{Treść zadania}
Rozstrzygnąć, czy istnieją niecałkowite liczby wymierne $a_1, a_2, \dots, a_{67}$ o tej własności, że liczby
\[
a_1 \cdot a_2, \; a_2 \cdot a_3, \; a_3 \cdot a_4, \; \dots, \; a_{66} \cdot a_{67}, \; a_{67} \cdot a_1
\]
są całkowite.
\bigskip
\section*{Rozwiązanie}
Tak, istnieją. Przedstawimy poniżej przykładową konstrukcję.
Niech $M$ będzie iloczynem pierwszych $67$ liczb pierwszych:
\[
M = p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{67}
\]
Twierdzę, że, jeśli zrobimy poniższą konstrukcję:
\[
a_i = \frac{M}{p_i^2}
\]
to zadziała.
\begin{proof}
Zauważmy najpierw że każda liczba $a_i$ jest niecałkowita. Widzimy, że:
\[
a_i = \frac{p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot \ldots \cdot p_{67}}{p_i}
\]
Ze względu na to, że są to liczby pierwsze to oczywiste jest, że:
\[
\gcd(p_1 \cdot p_2 \cdot \ldots \cdot p_{i-1} \cdot p_{i+1} \cdot \ldots \cdot p_{67}, p_i) = 1
\]
Sprawdźmy teraz czy iloczyn dwóch sąsiednich liczb jest liczbą całkowitą (przy czym załóżmy, że $a_{68} = a_1$ oraz $p_{68} = p_1$):
\begin{align*}
a_i\cdot a_{i + 1} &= \frac{M}{p_i^2} \cdot \frac{M}{p_{i+1}^2} \\
&= \frac{M^2}{p_i^2 \cdot p_{i+1}^2} \\
&= \frac{p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot \ldots \cdot p_i^2 \cdot p_{i+1}^2 \cdot \ldots \cdot p_{67}^2}{p_i^2 \cdot p_{i+1}^2} \\
&= p_1^2 \cdot p_2^2 \cdot \ldots \cdot p_{i - 1}^2 \cdot p_{i+2}^2 \cdot \ldots \cdot p_{67}^2
\end{align*}
Widać, że jest to liczba całkowita.
\end{proof}
\end{document}