Dane są dodatnie liczby całkowite $a, b$, przy czym $a > b$, liczba $a - b$ jest pierwsza, a liczba $\sqrt{ab}$ jest całkowita. Wykazać, że liczba $\sqrt{2a + 2b - 1}$ również jest całkowita.
Rozwiązanie
Niech $d=\gcd(a,b)$. Ze względu na to, że $a>b$ mamy, że:
\[
d \mid (a - b)
\]Można to udowodnić z algorytmu Euklidesa do liczenia $\gcd$. Mamy z tego algorytmu, że: (dla $a>b$)
\[
\gcd(a,b) = \gcd(b,a-b)
\]Skoro $d\mid(a-b)$, a przecież $a-b$ jest liczbą pierwszą, to zachodzi takie coś: Niech $p$ będzie liczbą pierwszą równą $a-b$. Liczba pierwsza z definicji ma tylko dwa dzielniki dodatnie: $1$ i $p$. Skoro $d$ jest dzielnikiem $p$ to mamy dwa przypadki:
$d=1$
$d=p$
Rozpatrzmy te przypadki osobno. Ale najpierw jeszcze dla wygody oznaczmy założenia z zadania:
\begin{align}
a - b &= p \label{e1} \\
ab &= k^2 \quad k\in\mathbb{Z}^+\label{e2}
\end{align}
Przypadek: $d = p$
Zapiszmy, że:
\[
a = \alpha p \quad \; b = \beta p
\]
dla pewnych $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$. Przy czym musi być $\gcd(\alpha,\beta)=1$ (bo chcemy zagwarantować, że $\gcd(a,b)=d=p$).Skoro $a>b$ to możemy zapisać, że:
\[
\alpha > \beta
\]Rozpiszmy drugie założonko \eqref{e2}:
\begin{align*}
ab &= k^2 \\
\alpha\beta p^2 &= k^2
\end{align*}Ważna rzecz: skoro iloczyn $\alpha\beta p^2$ ma być kwadratem liczby całkowitej, to iloczyn $\alpha\beta$ musi być kwadratem liczby całkowitej. Ale skoro $\gcd(\alpha, \beta)=1$ to znaczy, że $\alpha$ jest kwadratem liczby całkowitej oraz $\beta$ jest kwadratem liczby całkowitej. Czyli możemy zapisać:
\[
\alpha = \gamma^2 \quad \beta = \delta^2
\]
przy czym jest spełnione: $\gcd(\gamma, \delta)=1$. Przy czym dodatkowo załóżmy, że $\gamma$ i $\delta$ to dodatnie liczby całkowite. Ponadto $\gamma > \delta$.Teraz rozpiszmy pierwsze założenie \eqref{e1}:
\begin{align*}
a - b &= p \\
\alpha p - \beta p &= p \\
p(\alpha - \beta) &= p \\
\alpha - \beta &= 1 \\
\gamma^2 - \delta^2 &= 1 \\
(\gamma - \delta)(\gamma + \delta) &= 1
\end{align*}Ostatnie przekształcenie wynika ze wzoru skróconego mnożenia. Ale zauważmy: skoro operujemy na liczbach całkowitych to z ostatniej równości wynika, że obie liczby są równe $1$. (Ewentualnie obie równe $-1$)Gdyby było:
\[
\begin{cases}
\gamma - \delta = 1\\
\gamma + \delta = 1
\end{cases}
\]To dodając stronami otrzymujemy, że:
\[
\gamma = 1 \quad \delta = 0
\]Nie może być $\delta = 0$ bo założyliśmy, że jest to dodatnia liczba całkowita.A gdyby było:
\[
\begin{cases}
\gamma - \delta = -1\\
\gamma + \delta = -1
\end{cases}
\]To dodając stronami otrzymujemy, że:
\[
\gamma = -1 \quad \delta = 0
\]Nie może być $\delta = 0$ bo założyliśmy, że jest to dodatnia liczba całkowita.Dostaliśmy same sprzeczności. Nie da się tego uzyskać. Więc z przypadku $d=p$ nie mamy żadnego rozwiązania. (bo założenia nie są spełnione)
Przypadek $d=1$
Z drugiego założenia \eqref{e2} wynika, że musi być:
\[
a = x^2 \quad b = y^2
\]
przy czym $\gcd(x,y)=1$.Musi tak być, ponieważ mamy $d = \gcd(a,b) = 1$. Więc, żeby iloczyn $ab$ był kwadratem liczby całkowitej to zarówno $a$ jak i $b$ muszą być kwadratami liczb całkowitych.Rozpiszmy pierwszy warunek \eqref{e1}:
\begin{align*}
a - b &= p \\
x^2 - y^2 &= p \\
(x-y)(x+y) &= p
\end{align*}Skoro operujemy na liczbach całkowitych to z powyższej równości (wynikającej z założenia \eqref{e1}) mamy:
\begin{align}
x - y &= 1 \label{e3} \\
x + y &= p
\end{align}Powyższy układ wynika stąd, że: $x > y \Longrightarrow x - y > 0$. Czyli oba czynniki w iloczynie $(x-y)(x+y)$ są dodatnie. Zatem mamy dzielniki dodatnie. Ponadto, skoro $x,y > 0$, mamy że $x - y < x + y$. Skoro liczba $x - y$ jest mniejsza od $x + y$ to musi przyjąć wartość $1$.Z \eqref{e3} możemy takie coś wyciągnąć:
\[
x = 1 + y
\]Rozpiszmy zatem wyrażenie pod pierwiastkiem z tezy:
\begin{align*}
2a + 2b - 1 &= 2x^2 + 2y^2 - 1 \\
&= 2(1 + y)^2 + 2y^2 - 1 \\
&= 2(y^2 + 2y + 1) + 2y^2 - 1 \\
&= 2y^2 + 4y + 2 + 2y^2 - 1 \\
&= 4y^2 + 4y + 1 \\
&= (2y + 1)^2
\end{align*}Widzimy, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest kwadratem liczby całkowitej.Zatem liczba $\sqrt{2a + 2b - 1}$ jest całkowita. ■
Sposób drugi (wyróżnik równania kwadratowego)
Niech $p = a - b$ będzie liczbą pierwszą oraz niech $\sqrt{ab} = k$, gdzie $k \in \mathbb{Z}^+$.Z pierwszego warunku wyznaczamy $a = b + p$. Podstawiając tę zależność do drugiego warunku, otrzymujemy:
\begin{align*}
ab &= k^2, \\
(b + p)b &= k^2, \\
b^2 + pb - k^2 &= 0.
\end{align*}
Równanie to traktujemy jako równanie kwadratowe ze zmienną $b$. Ponieważ $b$ jest dodatnią liczbą całkowitą, jego wyróżnik $\Delta$ musi być kwadratem pewnej liczby całkowitej $D > 0$:
\[
\Delta = p^2 + 4k^2 = D^2.
\]
Przekształcając powyższą równość do postaci różnicy kwadratów, otrzymujemy:
\[
D^2 - (2k)^2 = p^2 \iff (D - 2k)(D + 2k) = p^2.
\]
Liczba $p$ jest pierwsza, a z warunku $k > 0$ wynika, że $0 < D - 2k < D + 2k$. Jedynym możliwym rozkładem liczby $p^2$ na dwa dodatnie czynniki całkowite, z których pierwszy jest mniejszy od drugiego, jest $1 \cdot p^2$. Prowadzi to do układu równań:
\[
\begin{cases}
D - 2k = 1, \\
D + 2k = p^2.
\end{cases}
\]
Dodając te równania stronami, wyznaczamy $D = \frac{p^2 + 1}{2}$. Zważywszy na to, że $b > 0$, pierwiastek równania kwadratowego dany jest wzorem:
\[
b = \frac{-p + D}{2} = \frac{-p + \frac{p^2 + 1}{2}}{2} = \frac{p^2 - 2p + 1}{4} = \left(\frac{p - 1}{2}\right)^2.
\]
Stąd otrzymujemy również:
\[
a = b + p = \left(\frac{p - 1}{2}\right)^2 + p = \frac{p^2 - 2p + 1 + 4p}{4} = \left(\frac{p + 1}{2}\right)^2.
\]
Podstawmy wyznaczone wartości $a$ i $b$ do wyrażenia pod pierwiastkiem z tezy:
\begin{align*}
2a + 2b - 1 &= 2\left(\frac{p + 1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{p - 1}{2}\right)^2 - 1 \\
&= \frac{(p + 1)^2 + (p - 1)^2}{2} - 1 \\
&= \frac{2p^2 + 2}{2} - 1 \\
&= p^2.
\end{align*}
Zatem:
\[
\sqrt{2a + 2b - 1} = \sqrt{p^2} = p \in \mathbb{Z},
\]
co kończy dowód. ■
Sposób trzeci (tożsamość algebraiczna)
Niech $p = a - b$ będzie liczbą pierwszą oraz $\sqrt{ab} \in \mathbb{Z}^+$. Rozpatrzmy liczbę:
\[
m = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}.
\]
Ponieważ $a, b, \sqrt{ab} \in \mathbb{Z}^+$ oraz $a > b$, liczba $m$ jest dodatnią liczbą całkowitą, stąd:
\[
\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{m}.
\]
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
\[
\sqrt{a} + \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{p}{\sqrt{m}}.
\]
Dodając stronami powyższe dwie równości, otrzymujemy:
\[
2\sqrt{a} = \sqrt{m} + \frac{p}{\sqrt{m}}.
\]
Podnosząc obie strony do kwadratu, uzyskujemy:
\[
4a = \left(\sqrt{m} + \frac{p}{\sqrt{m}}\right)^2 = m + 2p + \frac{p^2}{m}.
\]
Liczby $4a$, $m$ oraz $2p$ są całkowite, zatem ułamek $\frac{p^2}{m}$ również musi być liczbą całkowitą, co oznacza, że:
\[
m \mid p^2.
\]
Skoro $p$ jest liczbą pierwszą, dodatnimi dzielnikami $p^2$ mogą być jedynie $1, p$ oraz $p^2$. Rozpatrzmy te możliwości:
Gdyby $m = p^2$, to $\sqrt{a} - \sqrt{b} = p = a - b$, skąd $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 1$. Jest to sprzeczność, gdyż $a > b \ge 1 \implies \sqrt{a} + \sqrt{b} > 1$.
Gdyby $m = p$, to $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{p}$ oraz $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \frac{p}{\sqrt{p}} = \sqrt{p}$. Odejmując stronami, dostajemy $2\sqrt{b} = 0 \implies b = 0$, co stoi w sprzeczności z założeniem $b \in \mathbb{Z}^+$.
Wobec tego jedyną możliwością jest $m = 1$. Oznacza to, że:
\[
\sqrt{a} - \sqrt{b} = 1 \quad \text{oraz} \quad \sqrt{a} + \sqrt{b} = p.
\]
Zauważmy teraz tożsamość:
\[
2a + 2b = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = p^2 + 1^2 = p^2 + 1.
\]
Stąd bezpośrednio wynika, że:
\[
2a + 2b - 1 = (p^2 + 1) - 1 = p^2,
\]
czyli $\sqrt{2a + 2b - 1} = p \in \mathbb{Z}$, co należało wykazać. ■
% NumberTheory, Algebra, Diophantine, Integers
\documentclass[a4paper,12pt]{article}
\usepackage[left=2cm, top=2cm, right=2cm, bottom=1cm, includeheadfoot,
headheight=50pt]{geometry}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{lastpage}
\usepackage{float}
\usepackage[most]{tcolorbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{polyglossia}
\setmainlanguage{polish}
\usepackage{amsmath, amsthm}
\usepackage{fontspec}
\usepackage{unicode-math}
\setmainfont{Linux Libertine O}
\newtheorem{theorem}{Twierdzenie}[section]
\newtheorem{lemma}{Lemat}[section]
\newcommand{\Name}{Hostek}
\newcommand{\Email}{your.email@example.com}
\newcommand{\ProblemNumber}{LXXVIII OM, etap 1, zadanie p4}
\pagestyle{fancy}
\fancyhf{}
\fancyhead[L]{\Name \\ \Email}
\fancyhead[C]{\ProblemNumber}
\fancyfoot[C]{\thepage/\pageref{LastPage}}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0.4pt}
\begin{document}
\section*{Treść zadania}
Dane są dodatnie liczby całkowite $a, b$, przy czym $a > b$, liczba $a - b$ jest pierwsza, a liczba $\sqrt{ab}$ jest całkowita. Wykazać, że liczba $\sqrt{2a + 2b - 1}$ również jest całkowita.
\bigskip
\section*{Rozwiązanie}
Niech $d=\gcd(a,b)$. Ze względu na to, że $a>b$ mamy, że:
\[
d \mid (a - b)
\]
Można to udowodnić z algorytmu Euklidesa do liczenia $\gcd$. Mamy z tego algorytmu, że: (dla $a>b$)
\[
\gcd(a,b) = \gcd(b,a-b)
\]
Skoro $d\mid(a-b)$, a przecież $a-b$ jest liczbą pierwszą, to zachodzi takie coś: Niech $p$ będzie liczbą pierwszą równą $a-b$. Liczba pierwsza z definicji ma tylko dwa dzielniki dodatnie: $1$ i $p$. Skoro $d$ jest dzielnikiem $p$ to mamy dwa przypadki:
\begin{enumerate}
\item $d=1$
\item $d=p$
\end{enumerate}
Rozpatrzmy te przypadki osobno. Ale najpierw jeszcze dla wygody oznaczmy założenia z zadania:
\begin{align}
a - b &= p \label{e1} \\
ab &= k^2 \quad k\in\mathbb{Z}^+\label{e2}
\end{align}
\subsection*{Przypadek: $d = p$}
Zapiszmy, że:
\[
a = \alpha p \quad \; b = \beta p
\]
dla pewnych $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$. Przy czym musi być $\gcd(\alpha,\beta)=1$ (bo chcemy zagwarantować, że $\gcd(a,b)=d=p$).
Skoro $a>b$ to możemy zapisać, że:
\[
\alpha > \beta
\]
Rozpiszmy drugie założonko \eqref{e2}:
\begin{align*}
ab &= k^2 \\
\alpha\beta p^2 &= k^2
\end{align*}
Ważna rzecz: skoro iloczyn $\alpha\beta p^2$ ma być kwadratem liczby całkowitej, to iloczyn $\alpha\beta$ musi być kwadratem liczby całkowitej. Ale skoro $\gcd(\alpha, \beta)=1$ to znaczy, że $\alpha$ jest kwadratem liczby całkowitej oraz $\beta$ jest kwadratem liczby całkowitej. Czyli możemy zapisać:
\[
\alpha = \gamma^2 \quad \beta = \delta^2
\]
przy czym jest spełnione: $\gcd(\gamma, \delta)=1$. Przy czym dodatkowo załóżmy, że $\gamma$ i $\delta$ to dodatnie liczby całkowite. Ponadto $\gamma > \delta$.
Teraz rozpiszmy pierwsze założenie \eqref{e1}:
\begin{align*}
a - b &= p \\
\alpha p - \beta p &= p \\
p(\alpha - \beta) &= p \\
\alpha - \beta &= 1 \\
\gamma^2 - \delta^2 &= 1 \\
(\gamma - \delta)(\gamma + \delta) &= 1
\end{align*}
Ostatnie przekształcenie wynika ze wzoru skróconego mnożenia. Ale zauważmy: skoro operujemy na liczbach całkowitych to z ostatniej równości wynika, że obie liczby są równe $1$. (Ewentualnie obie równe $-1$)
Gdyby było:
\[
\begin{cases}
\gamma - \delta = 1\\
\gamma + \delta = 1
\end{cases}
\]
To dodając stronami otrzymujemy, że:
\[
\gamma = 1 \quad \delta = 0
\]
Nie może być $\delta = 0$ bo założyliśmy, że jest to dodatnia liczba całkowita.
A gdyby było:
\[
\begin{cases}
\gamma - \delta = -1\\
\gamma + \delta = -1
\end{cases}
\]
To dodając stronami otrzymujemy, że:
\[
\gamma = -1 \quad \delta = 0
\]
Nie może być $\delta = 0$ bo założyliśmy, że jest to dodatnia liczba całkowita.
Dostaliśmy same sprzeczności. Nie da się tego uzyskać. Więc z przypadku $d=p$ nie mamy żadnego rozwiązania. (bo założenia nie są spełnione)
\subsection*{Przypadek $d=1$}
Z drugiego założenia \eqref{e2} wynika, że musi być:
\[
a = x^2 \quad b = y^2
\]
przy czym $\gcd(x,y)=1$.
Musi tak być, ponieważ mamy $d = \gcd(a,b) = 1$. Więc, żeby iloczyn $ab$ był kwadratem liczby całkowitej to zarówno $a$ jak i $b$ muszą być kwadratami liczb całkowitych.
Rozpiszmy pierwszy warunek \eqref{e1}:
\begin{align*}
a - b &= p \\
x^2 - y^2 &= p \\
(x-y)(x+y) &= p
\end{align*}
Skoro operujemy na liczbach całkowitych to z powyższej równości (wynikającej z założenia \eqref{e1}) mamy:
\begin{align}
x - y &= 1 \label{e3} \\
x + y &= p
\end{align}
Powyższy układ wynika stąd, że: $x > y \Longrightarrow x - y > 0$. Czyli oba czynniki w iloczynie $(x-y)(x+y)$ są dodatnie. Zatem mamy dzielniki dodatnie. Ponadto, skoro $x,y > 0$, mamy że $x - y < x + y$. Skoro liczba $x - y$ jest mniejsza od $x + y$ to musi przyjąć wartość $1$.
Z \eqref{e3} możemy takie coś wyciągnąć:
\[
x = 1 + y
\]
Rozpiszmy zatem wyrażenie pod pierwiastkiem z tezy:
\begin{align*}
2a + 2b - 1 &= 2x^2 + 2y^2 - 1 \\
&= 2(1 + y)^2 + 2y^2 - 1 \\
&= 2(y^2 + 2y + 1) + 2y^2 - 1 \\
&= 2y^2 + 4y + 2 + 2y^2 - 1 \\
&= 4y^2 + 4y + 1 \\
&= (2y + 1)^2
\end{align*}
Widzimy, że wyrażenie pod pierwiastkiem jest kwadratem liczby całkowitej.
Zatem liczba $\sqrt{2a + 2b - 1}$ jest całkowita. \qed
\section*{Sposób drugi (wyróżnik równania kwadratowego)}
Niech $p = a - b$ będzie liczbą pierwszą oraz niech $\sqrt{ab} = k$, gdzie $k \in \mathbb{Z}^+$.
Z pierwszego warunku wyznaczamy $a = b + p$. Podstawiając tę zależność do drugiego warunku, otrzymujemy:
\begin{align*}
ab &= k^2, \\
(b + p)b &= k^2, \\
b^2 + pb - k^2 &= 0.
\end{align*}
Równanie to traktujemy jako równanie kwadratowe ze zmienną $b$. Ponieważ $b$ jest dodatnią liczbą całkowitą, jego wyróżnik $\Delta$ musi być kwadratem pewnej liczby całkowitej $D > 0$:
\[
\Delta = p^2 + 4k^2 = D^2.
\]
Przekształcając powyższą równość do postaci różnicy kwadratów, otrzymujemy:
\[
D^2 - (2k)^2 = p^2 \iff (D - 2k)(D + 2k) = p^2.
\]
Liczba $p$ jest pierwsza, a z warunku $k > 0$ wynika, że $0 < D - 2k < D + 2k$. Jedynym możliwym rozkładem liczby $p^2$ na dwa dodatnie czynniki całkowite, z których pierwszy jest mniejszy od drugiego, jest $1 \cdot p^2$. Prowadzi to do układu równań:
\[
\begin{cases}
D - 2k = 1, \\
D + 2k = p^2.
\end{cases}
\]
Dodając te równania stronami, wyznaczamy $D = \frac{p^2 + 1}{2}$.
Zważywszy na to, że $b > 0$, pierwiastek równania kwadratowego dany jest wzorem:
\[
b = \frac{-p + D}{2} = \frac{-p + \frac{p^2 + 1}{2}}{2} = \frac{p^2 - 2p + 1}{4} = \left(\frac{p - 1}{2}\right)^2.
\]
Stąd otrzymujemy również:
\[
a = b + p = \left(\frac{p - 1}{2}\right)^2 + p = \frac{p^2 - 2p + 1 + 4p}{4} = \left(\frac{p + 1}{2}\right)^2.
\]
Podstawmy wyznaczone wartości $a$ i $b$ do wyrażenia pod pierwiastkiem z tezy:
\begin{align*}
2a + 2b - 1 &= 2\left(\frac{p + 1}{2}\right)^2 + 2\left(\frac{p - 1}{2}\right)^2 - 1 \\
&= \frac{(p + 1)^2 + (p - 1)^2}{2} - 1 \\
&= \frac{2p^2 + 2}{2} - 1 \\
&= p^2.
\end{align*}
Zatem:
\[
\sqrt{2a + 2b - 1} = \sqrt{p^2} = p \in \mathbb{Z},
\]
co kończy dowód. \qed
\bigskip
\section*{Sposób trzeci (tożsamość algebraiczna)}
Niech $p = a - b$ będzie liczbą pierwszą oraz $\sqrt{ab} \in \mathbb{Z}^+$. Rozpatrzmy liczbę:
\[
m = (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = a + b - 2\sqrt{ab}.
\]
Ponieważ $a, b, \sqrt{ab} \in \mathbb{Z}^+$ oraz $a > b$, liczba $m$ jest dodatnią liczbą całkowitą, stąd:
\[
\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{m}.
\]
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
\[
\sqrt{a} + \sqrt{b} = \frac{a - b}{\sqrt{a} - \sqrt{b}} = \frac{p}{\sqrt{m}}.
\]
Dodając stronami powyższe dwie równości, otrzymujemy:
\[
2\sqrt{a} = \sqrt{m} + \frac{p}{\sqrt{m}}.
\]
Podnosząc obie strony do kwadratu, uzyskujemy:
\[
4a = \left(\sqrt{m} + \frac{p}{\sqrt{m}}\right)^2 = m + 2p + \frac{p^2}{m}.
\]
Liczby $4a$, $m$ oraz $2p$ są całkowite, zatem ułamek $\frac{p^2}{m}$ również musi być liczbą całkowitą, co oznacza, że:
\[
m \mid p^2.
\]
Skoro $p$ jest liczbą pierwszą, dodatnimi dzielnikami $p^2$ mogą być jedynie $1, p$ oraz $p^2$. Rozpatrzmy te możliwości:
\begin{enumerate}
\item Gdyby $m = p^2$, to $\sqrt{a} - \sqrt{b} = p = a - b$, skąd $\sqrt{a} + \sqrt{b} = 1$. Jest to sprzeczność, gdyż $a > b \ge 1 \implies \sqrt{a} + \sqrt{b} > 1$.
\item Gdyby $m = p$, to $\sqrt{a} - \sqrt{b} = \sqrt{p}$ oraz $\sqrt{a} + \sqrt{b} = \frac{p}{\sqrt{p}} = \sqrt{p}$. Odejmując stronami, dostajemy $2\sqrt{b} = 0 \implies b = 0$, co stoi w sprzeczności z założeniem $b \in \mathbb{Z}^+$.
\end{enumerate}
Wobec tego jedyną możliwością jest $m = 1$. Oznacza to, że:
\[
\sqrt{a} - \sqrt{b} = 1 \quad \text{oraz} \quad \sqrt{a} + \sqrt{b} = p.
\]
Zauważmy teraz tożsamość:
\[
2a + 2b = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 + (\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = p^2 + 1^2 = p^2 + 1.
\]
Stąd bezpośrednio wynika, że:
\[
2a + 2b - 1 = (p^2 + 1) - 1 = p^2,
\]
czyli $\sqrt{2a + 2b - 1} = p \in \mathbb{Z}$, co należało wykazać. \qed
\end{document}